Question

已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为(－a,0).若|AB|＝，求直线l的倾斜角.

Answer 1

(1)由e＝＝，得3a²＝4c²，

再由c²＝a²－b²，解得a＝2b.

由题意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.

解方程组，得a＝2，b＝1.

所以椭圆的方程为＋y²＝1.

(2)由(1)可知点A的坐标是(－2,0).

设点B的坐标为(x₁，y₁)，直线l的斜率为k，

则直线l的方程为y＝k(x＋2).

于是A、B两点的坐标满足方程组，

消去y并整理，得

(1＋4k²)x²＋16k²x＋(16k²－4)＝0.

整理得32k⁴－9k²－23＝0，即(k²－1)(32k²＋23)＝0，解得k＝±1.

所以直线l的倾斜角为或.