Question

已知函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有3个交点，交点横坐标的最大值为α，则

cosα

sinα+sin3α

-

1+α2

4α

=

0

．

Answer 1

分析：由函数图象进行观察，得交点横坐标取最大值的位置为直线y=kx与f（x）=|sinx|在（π，2π）上的图象相切，切点A的横坐标．由此结合导数的几何意义，得k=-cosα=

-sinα

α

，从而得到α=

sinα

cosα

．再用二倍角三角函数公式，对原式进行化简整理，即可得到所求．

解答：解：函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有3个交点时，
交点横坐标取最大值的位置为直线y=kx与f（x）=|sinx|在（π，2π）上
的图象相切，切点A的横坐标．
∴A的坐标为（α，-sinα）
由直线y=kx与f（x）=|sinx|=-sinx图象相切，
求出f'（x）=（-sinx）'=-cosx，得k=-cosα=

-sinα

α

∴α=

sinα

cosα

∵

cosα

sinα+sin3α

=

cosα

sinα+(sin2αcosα+cos2αsinα)

=

cosα

sinα+2sinαcos2α+(2cos 2α-1)sinα

=

cosα

4sinαcos2α

∴

cosα

sinα+sin3α

=

1

4sinαcos α

=

cos2α+sin2α

4sinαcos α

又∵

1+α2

4α

=

1+( sinα cosα )2

4• sinα cosα

=

cos2α+sin2α

4sinαcos α

∴

cosα

sinα+sin3α

-

1+α2

4α

=

cos2α+sin2α

4sinαcos α

-

cos2α+sin2α

4sinαcos α

=0
故答案为：0

点评：本题给出正弦曲线与直线y=kx的图象相切，求切点横坐标并化简三角函数式的值，着重考查了三角函数的图象与性质，导数的几何意义等知识，考查了函数与方程的思想解题，属于中档题．