Question

如图，函数y=2cos（ωx+θ）（x∈R，ω＞0，0＜θ＜

π

2

）的图象与y轴相交于点（0，

3

），且该函数的最小正周期为π．
（Ⅰ） 求θ和ω的值；
（Ⅱ）若x∈[0，π]，求已知函数的单调递减区间．
（Ⅲ）已知点A（

π

2

，0），点P是该函数图象上一点，Q（x₀，y₀）是PA的中点，当y₀=

3

2

，x₀∈[

π

2

，π]时，求x₀的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）将M坐标代入已知函数，计算可得得cosθ，由θ范围可得其值，由ω=

2π

T

结合已知可得ω值；
（Ⅱ）由2x+

π

6

∈[2kπ，2kπ+π]（k∈Z），可得x∈[kπ-

π

12

，kπ+

5

12

π]（k∈Z），即可求出x∈[0，π]，已知函数的单调递减区间．
（Ⅲ）由已知可得点P的坐标为（2x-

π

2

，

3

）．代入y=2cos（2x+

π

6

）结合x∈[

π

2

，π]和三角函数值得运算可得．

解答： 解：（Ⅰ）将x=0，y=

3

代入函数y=2cos（ωx+θ）得cosθ=

3

2

，
∵0≤θ≤

π

2

，∴θ=

π

6

．
由已知周期T=π，且ω＞0，
∴ω=

2π

π

=2；
（Ⅱ）y=2cos（2x+

π

6

），
由2x+

π

6

∈[2kπ，2kπ+π]（k∈Z），可得x∈[kπ-

π

12

，kπ+

5

12

π]（k∈Z），
∴x∈[0，π]，函数的单调递减区间为[0，

5

12

π]，[

11

12

π，π]；
（Ⅲ））∵点A（

π

2

，0），Q（x，y）是PA的中点，y=

3

2

，
∴点P的坐标为（2x-

π

2

，

3

）．
又∵点P在y=2cos（2x+

π

6

）的图象上，且x∈[

π

2

，π]，
∴cos（4x-

5π

6

）=

3

2

，

7π

6

≤4x-

5π

6

≤

19π

6

，
从而得4x-

5π

6

=

11π

6

，或4x-

5π

6

=

13π

6

，
解得x=

2π

3

或

3π

4

．

点评：本题考查由三角函数的部分图象求解析式，涉及三角函数值的运算，属于中档题．