Question

（本小题满分14分）

设函数f(x)＝tx²＋2t²x＋t－1(t∈R，t>0)．

(1)求f(x)的最小值s(t)；

(2)若s(t)<－2t＋m对t∈(0,2)时恒成立，求实数m的取值范围．

 

 

Answer 1

【答案】

解：(1)∵f(x) ＝tx²＋2t²x＋t－1

＝t(x＋t)²－t³＋t－1(t∈R，t>0)，           3分

∴当x＝－t时，f(x)取得最小值f(－t)＝－t³＋t－1，

即s(t)＝－t³＋t－1.                       6分

(2)令h(t)＝s(t)－(－2t＋m)＝－t³＋3t－1－m.

由h′(t)＝－3t²＋3＝0，                  8分

得t＝1或t＝－1(舍去)，则有                10分

t	(0,1)	1	(1,2)
h′(t)	＋	0	－
h(t)	增	极大值	减

∴h(t)在(0,2)内有最大值1－m，                  12分

∴s(t)<－2t＋m对t∈(0,2)时恒成立等价于h(t)<0恒成立，

即1－m<0，∴m>1.                      14分

 

【解析】略