Question

已知某海滨浴场的海浪高度y（单位：米）与时间 t（0≤t≤24）（单位：时）的函数关系记作y=f（t），下表是某日各时的浪高数据：

t/时	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y/米	1.5	1.0	0.5	1.0	1.5	1.0	0.5	0.99	1.5

经长期观测，函数y=f（t）可近似地看成是函数y=Acosωt+b．
（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T及函数表达 式（其中A＞0，ω＞0）；
（2）根据规定，当海浪高度不低于0.75米时，才对冲浪爱好者开放，请根据以上结论，判断一天内从上午7时至晚上19时之间，该浴场有多少时间可向冲浪爱好者开放？

Answer 1

分析：（1）要求出函数y=y=Acosωt+b的最小正周期T及函数表达式，要观察问题所给的数据，从浪高最大值到下一次浪高最大值所用的时间即周期，由周期可求ω；而振幅A=

1.5-0.5

2

=

1

2

；b=

1.5+0.5

2

=1；
（2）当海浪高度不低于0.75米时，解不等式y≥0.75，求出不等式在7到19之间的解即可．

解答：解：（1）由表格给出的数据知：T=12-0=12；ω=

2π

T

=

2π

12

=

π

6

A=

1.5-0.5

2

=

1

2

；b=

1.5+0.5

2

=1
∴函数y=Acosωt+b的最小正周期及函数表达式分别是：T=12，y=

1

2

cos

π

6

t+1…（4分）
（2）y≥0.75
∴

1

2

cos

π

6

t+1≥

3

4

∴cos

π

6

t≥-

1

2

…（6分）∴2kπ-

2

3

π≤

π

6

t≤2kπ+

2

3

πk∈Z
即 12k-4≤t≤12k+4k∈Z…（8分）
由7≤t≤19，得8≤t≤16．
答：该浴场有8小时可向冲浪爱好者开放．…（10分）

点评：本题是创新应用题，根据给出数据周期性的特点，观察数据，求出T，A，ω，b的值求得函数解析式．解三角不等式，求出t的取值范围，再结合7≤t≤19，求出t的取值范围．