Question

1．已知等差数列{a_n}的前n项和 S_n，且a₄=11，S₈=100；数列{b_n}满足${b_1}=\frac{1}{2}{a_1}$，a_nb_n+1+b_n+1=nb_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，由$\left\{\begin{array}{l}{a_4}={a_1}+3d=11\\{S_8}=8{a_1}+\frac{8×7}{2}d=100\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=2\\ d=3\end{array}\right.$，
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1．
（2）${b_1}=\frac{1}{2}{a_1}$=1，由a_nb_n+1+b_n+1=nb_n可得：b_n+1=$\frac{1}{3}$b_n．
∴数列{b_n}是等比数列，首项为1，公比为$\frac{1}{3}$．
故其前n项和${T_n}=\frac{{1-{{（\frac{1}{3}）}^n}}}{{1-\frac{1}{3}}}=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}{（\frac{1}{3}）^n}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．