Question

已知二面角α-PQ-β为

π

3

，A∈α，B∈β，C∈PQ，R为线段AC的中点，∠ACP=∠BCP=

π

6

，CA=CB=2，则直线BR与平面α所成角的大小为

45°

．

Answer 1

分析：作BM⊥PQ于M，连接AM，根据∠ACP=∠BCP=

π

6

，CA=CB进而判断出△MBC≌△MAC，进而可知AM⊥PQ，根据线与面垂直的定义可知PQ⊥平面ABM，作BN⊥AM于N，根据PQ⊥平面ABM，可推知BN⊥PQ，得出BN⊥α，∠BRA为直线BR与平面α所成角．在直角三角形BRA中求解．

解答：证明：作BM⊥PQ于M，连接AM，
∵∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=2，
∴△MBC≌△MAC，∴AM⊥PQ，PQ⊥平面ABM，∠BMA为二面角α-PQ-β的平面角．∠BMA=60°．
又AM=BM=1，所以△BMA为正三角形．
过B作BN⊥AM于N，∵PQ⊥平面ABM，∴BN⊥PQ，
∴BN⊥α，∠BRN为直线BR与平面α所成角．
在直角三角形BRN中，BN=

3

2

，NR=

1

2

CM=

3

2

，所以直角三角形BRN为等腰直角三角形，∠BRN=45°，
直线BR与平面α所成角的大小为45°．
故答案为：45°

点评：本题考查空间角计算．考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力