Question

已知a＞0，函数y＝f(x)＝x³－ax在x∈[1，∞)是一个单调函数．

(1)试问函数y＝f(x)在a＞0的条件下，在x∈[1，∞)上能否是单调递减函数？请说明理由；

(2)若f(x)在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，试求出实数a的取值范围；

(3)设x₀≥1，f(x₀)≥1且f[f(x₀)]＝x₀，求证：f(x₀)＝x₀．

Answer 1

答案：
解析：

解　　(1)＝(x)＝3x2－a． 　　若f(x)在[1，上是单调递减函数，则须＜0，即a＞3x2，这样的实数a不存在，故f(x)在[1，上不可能是单调递减函数． 　　(2)若f(x)在[1，上是单调递增函数，则a≤3x2， 　　由于x∈[1，，故3x2≥3，从而0＜a≤3． 　　(3)由(1)，(2)可知f(x)在[1，上只能是单调增函数． 　　若1≤x0＜f(x0)，则f(x0)＜f(f(x0))＝x0矛盾； 　　若1≤f(x0)＜x0，则f(f(x0))＜f(x0)，即x0＜f(x0)矛盾． 　　故只有f(x0)＝x0成立． 　　(3)的别证：设f(x0)＝u，则f(u)＝x0，∴－ax0＝u，u3－au＝x0． 　　两式相减得(－u3)－a(x0－u)＝u－x0， 　　∴(x0－u)(＋x0u＋u2＋1－a)＝0． 　　∵x0≥1，u≥1　　∴＋x0u＋u2≥3，又0＜a≤3， 　　∴＋x0u＋u2＋1－a＞0，∴x0－u＝0，即u＝x0，亦即f(x0)＝x0．证毕．