Question

规定A_x^m=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m为正整数，且A_x⁰=1，这是排列数A_n^m（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求A_-15³的值；
（2）排列数的两个性质：①A_n^m=nA_n-1^m-1，②A_n^m+mA_n^m-1=A_n+1^m．（其中m，n是正整数）是否都能推广到A_x^m（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
（3）确定函数A_x³的单调区间．

Answer 1

（1）A_-15³=（-15）（-16）（-17）=-4080；
（2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是：
①A_x^m=xA_x-1^m-1，②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊）
事实上，在①中，当m=1时，左边=A_x¹=x，右边=xA_x-1⁰=x，等式成立；
当m≥2时，左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）=x[（x-1）（x-2）（（x-1）-（m-1）+1）]=xA_x-1^m-1，
因此，①A_x^m=xA_x-1^m-1成立；
在②中，当m=1时，左边=A_x¹+A_x⁰=x+1=A_x+1¹=右边，等式成立；
当m≥2时，
左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）+mx（x-1）（x-2）（x-m+2）
=x（x-1）（x-2）（x-m+2）[（x-m+1）+m]=（x+1）x（x-1）（x-2）[（x+1）-m+1]=A_x+1^m=右边，
因此②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊）成立．
（3）先求导数，得（A_x³）^/=3x²-6x+2．
令3x²-6x+2＞0，解得x＜

3- 3

3

或x＞

3+ 3

3

．
因此，当x∈(-∞，

3- 3

3

)时，函数为增函数，
当x∈(

3+ 3

3

，+∞)时，函数也为增函数．
令3x²-6x+2＜0，解得

3- 3

3

＜x＜

3+ 3

3

．
因此，当x∈(

3- 3

3

，

3+ 3

3

)时，函数为减函数．
∴函数A_x³的增区间为(-∞，

3- 3

3

)，(

3+ 3

3

，+∞)
函数A_x³的减区间为(

3- 3

3

，

3+ 3

3

)