Question

规定A_x^m=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m为正整数，且A_x⁰=1，这是排列数A_n^m（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求A_-15³的值；
（2）排列数的两个性质：①A_n^m=nA_n-1^m-1，②A_n^m+mA_n^m-1=A_n+1^m．（其中m，n是正整数）是否都能推广到A_x^m（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
（3）确定函数A_x³的单调区间．

Answer 1

分析：（1）根据A_x^m=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m为正整数，写出A_-15³的表示式，再做出结果，做法同一般的排列数相同．
（2）首先写出推广以后的性质，A_x^m=xA_x-1^m-1，②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊），针对于这两个式子进行证明，根据排列数的意义，写出要证明的等式的左边和右边，整理后两边相等．
（3）要求函数A_x³的单调区间，写出排列数的表示形式，是一个三次函数，需要对这个函数求导，令导函数大于零，得到函数的增区间，令导函数小于零，得到函数的减区间．

解答：解：（1）A_-15³=（-15）（-16）（-17）=-4080；
（2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是：
①A_x^m=xA_x-1^m-1，②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊）
事实上，在①中，当m=1时，左边=A_x¹=x，右边=xA_x-1⁰=x，等式成立；
当m≥2时，左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）=x[（x-1）（x-2）（（x-1）-（m-1）+1）]=xA_x-1^m-1，
因此，①A_x^m=xA_x-1^m-1成立；
在②中，当m=1时，左边=A_x¹+A_x⁰=x+1=A_x+1¹=右边，等式成立；
当m≥2时，
左边=x（x-1）（x-2）（x-m+1）+mx（x-1）（x-2）（x-m+2）
=x（x-1）（x-2）（x-m+2）[（x-m+1）+m]=（x+1）x（x-1）（x-2）[（x+1）-m+1]=A_x+1^m=右边，
因此②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊）成立．
（3）先求导数，得（A_x³）^/=3x²-6x+2．
令3x²-6x+2＞0，解得x＜

3- 3

3

或x＞

3+ 3

3

．
因此，当x∈(-∞，

3- 3

3

)时，函数为增函数，
当x∈(

3+ 3

3

，+∞)时，函数也为增函数．
令3x²-6x+2＜0，解得

3- 3

3

＜x＜

3+ 3

3

．
因此，当x∈(

3- 3

3

，

3+ 3

3

)时，函数为减函数．
∴函数A_x³的增区间为(-∞，

3- 3

3

)，(

3+ 3

3

，+∞)
函数A_x³的减区间为(

3- 3

3

，

3+ 3

3

)

点评：本题考查排列数公式，考查新定义问题，考查对于等式的证明，考查利用导函数求函数的单调区间，考查解决问题的能力和运算能力，是一个综合题目．