Question

某企业准备在2006年对员工增加奖金200元，其中有120元是基本奖金．预计在今后的若干年内，该企业每年新增加的奖金平均比上一年增长8%．另外，每年新增加的奖金中，基本奖金均比上一年增加30元．那么，到哪一年底，
（1）该企业历年所增加的奖金中基本奖金累计（以2006年为累计的第一年）将首次不少于750元？
（2）当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于85%？

Answer 1

【答案】分析：（1）设基本奖金形成数列{a_n}，由题意可知{a_n}是等差数列，然后求出该数列的前n项和，最后根据历年所增加的奖金中基本奖金累计（以2006年为累计的第一年）将首次不少于750元建立关系式，解之即可求出所求；
（2）设新增加的奖金形成数列{b_n}，由题意可知{b_n}是等比数列，然后根据题意可知a_n＞0.85 b_n，解之即可求出所求．
解答：解：（1）设基本奖金形成数列{a_n}，由题意可知{a_n}是等差数列，
（或a₁=120，，d=30，或a_n=120+30 （n-1））（1分）
S_n=a₁n+n（n-1）d（2分）
则S_n=120n+15n（n-1）=15n²+105n=15（n²+7n）（4分）
令15n²+105n≥750，即n²+7n-50≥0，而n是正整数，∴n≥5．（5分）
到2010年底该企业历年所增加的工资中基本工资累计将首次不少于750元．（6分）
（2）设新增加的奖金形成数列{b_n}，由题意可知{b_n}是等比数列，（或b₁=200，q=1.08，或b_n=b_n-1q） （7分）
则b_n=200•（1.08）^n-1（9分）
由题意可知a_n＞0.85 b_n，有120+30 （n-1）＞200•（1.08）^n-1•0.85． （11分）
由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=5，（13分）
到2010年底，当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于85% （14分）
点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的综合运用，同时考查了数列的求和和一元二次不等式的解法，属于中档题．