Question

已知实数x、y满足方程（x-a+1）²+（y-1）²=1，当0≤y≤b（b∈R）时，由此方程可以确定一个偶函数y=f（x），则抛物线y=-

1

2

x2的焦点F到点（a，b）的轨迹上点的距离最大值为

 

．

Answer 1

分析：由题设条件当0≤y≤b（b∈R）时，由此方程可以确定一个偶函数y=f（x），可知方程（x-a+1）²+（y-1）²=1，关于y轴成轴对称，故有-a+1=0，又由圆的几何特征及确定一个偶函数y=f（x）知，y的取值范围是[0，1]，由此可以求出b的取值范围，由此点（a，b）的轨迹求知，再由抛物线的性质求得其焦点坐标为（0，-

1

2

），最大距离可求

解答：解：由题意可得圆的方程一定关于y轴对称，故由-a+1=0，求得a=1
由圆的几何性质知，只有当y≤1时，才能保证此圆的方程确定的函数是一个偶函数，故0＜b≤1
由此知点（a，b）的轨迹是一个线段，其横坐标是1，纵坐标属于（0，1]
又抛物线y=-

1

2

x2故其焦点坐标为（0，-

1

2

）
由此可以判断出焦点F到点（a，b）的轨迹上点的距离最大距离是

(1-0)2+(1+ 1 2 )2

=

13

2

故答案为

13

2

点评：本题考查抛物线的简单性质以及圆的几何特征，偶函数的图象特征，两点间的距离公式，求解本题关键是根据所给的题设条件判断出点（a，b）的轨迹，此过程比较抽象，应好好体会，由圆的特征知当纵坐标的轴大于1时，就会出现两个y对应一个x的情况，这显然不符合函数的定义，故得出y的取值范围是[0，1]，函数定义在这个地方的运用，十分隐蔽，极难想到，且此类题不多见，应充分利用本题好好体会一下．本题易因为忘记了函数的定义而求得y的取值范围是[0，2]，从而得到b的取值范围是[0，2]，导致错误．