Question

已知实数x、y满足方程x²+y²-4x+1=0．求
（1）

y

x

的最大值和最小值；
（2）y-x的最小值；
（3）x²+y²的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）整理方程可知，方程表示以点（2，0）为圆心，以

3

为半径的圆，设

y

x

=k，进而根据圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
（2）设y-x=b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值．进而利用点到直线的距离求得y-x的最小值；
（3）x²+y²是圆上点与原点距离之平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，进而可知x²+y²的最大值和最小值分别为|OC′|和|OB|，答案可得．

解答：解：（1）如图，方程x²+y²-4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以

3

为半径的圆．
设

y

x

=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，
斜率取得最大、最小值．由

|2k-0|

k2+1

=

3

，
解得k²=3．
所以k_max=

3

，k_min=-

3

．
（2）设y-x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值．
由点到直线的距离公式，得

|2-0+b|

2

=

3

，即b=-2±

6

，
故（y-x）_min=-2-

6

．
（3）x²+y²是圆上点与原点距离之平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，可知B到原点的距离最近，点C′到原点的距离是大，此时有OB=

x2+y2

=2-

3

，OC′=

x2+y2

=2+

3

，
则（x²+y²）_max=|OC′|²=7+4

3

，（x²+y²）_min=|OB|²=7-4

3

．

点评：本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生转化和化归的思想和数形结合的思想．