Question

【题目】解答
（1）已知f（x）= ，证明：f（x）是R上的增函数；
（2）解方程：log5（3﹣25x）=2x．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：证法一：

设x1＜x2，则

∴f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ＜0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴f（x）是R上的增函数．

证法二：f（x）= =1﹣ ，

∴f′（x）= ，

∵f′（x）＞0恒成立，

故f（x）是R上的增函数

（2）

解：由解得原方程可得3﹣25x=52x，

整理得（5x﹣1）（5x+3）=0，

∵5x+3＞3≠0，

∴5x﹣1=0，

解得x=0，

∴所求方程的解集为{0}

【解析】（1）证法一：设x1＜x2 ， 作差判断出f（x1）＜f（x2），根据函数单调性的定义，可得：f（x）是R上的增函数．证法二：求导，根据f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是R上的增函数．（2）原方程可化为3﹣25x=52x ， 即（5x﹣1）（5x+3）=0，由5x+3＞3≠0得：5x﹣1=0，解得答案．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法和利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．