Question

设f(x)=2(log2x)2+2alog2

1

x

+b，已知x=

1

2

时，f（x）有最小值-8．
（1）求a与b的值；
（2）在（1）的条件下，求f（x）＞0的解集A；
（3）设集合B=[t-

1

2

，t+

1

2

]，且A∩B=∅，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令y=f(x)=2(log2x)2-2alog2x+b，t=log₂x，y=2t²-2at+b，由x=

1

2

，即t=-1时，f（x）有最小值-8，得二次函数的对称轴为t=

a

2

=-1，得a=-2，由此能求出a与b的值．
（2）由a与b的值分别为-2，-6，得f(x)=2(log2x)2+4log2x-6，由此能求出f（x）＞0的解集A．
（3）集合B=[t-

1

2

，t+

1

2

]，而A∩B=∅，得t+

1

2

≤0，或

t+ 1 2 ≤2 t- 1 2 ≥ 1 8

，由此能求出实数t的取值范围．

解答：（本小题满分13分）
解：（1）令y=f(x)=2(log2x)2-2alog2x+b，
t=log₂x，y=2t²-2at+b，
由已知x=

1

2

，即t=-1时，f（x）有最小值-8，
得二次函数的对称轴为t=

a

2

=-1，得a=-2，
ymin=2×(-1)2-2×(-2)×(-1)+b=-8，得b=-6；
即a与b的值分别为-2，-6；
（2）由a与b的值分别为-2，-6，
得f(x)=2(log2x)2+4log2x-6，
即2(log2x)2+4log2x-6＞0，
得log₂x＞1，或log₂x＜-3，
即x＞2，或0＜x＜

1

8

，
得集合A=(0，

1

8

)∪(2，+∞)；
（3）集合B=[t-

1

2

，t+

1

2

]，而A∩B=∅，
得t+

1

2

≤0，或

t+ 1 2 ≤2 t- 1 2 ≥ 1 8

，
解得t≤-

1

2

，或

5

8

≤t≤

3

2

，
即实数t的取值范围为t≤-

1

2

，或

5

8

≤t≤

3

2

．

点评：本题考查二次函数的性质和应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．