Question

如图，已知菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠BAD=∠CDA=90°，∠ABE=60°，点H、G分别是线段EF、BC的中点．
（1）求证：平面AHC⊥平面BCE；
（2）点M在直线EF上，且GM∥平面AFD，求平面ACH与平面ACM所成角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得△AEF是等边三角形，AH⊥平面ABCD，AH⊥BC，AH⊥平面ABCD，AH⊥BC，由此能证明平面AHC⊥平面BCE．
（2）分别以AD，AB，AH所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ACH与平面ACM所成角的余弦值．

解答： （1）证明：在菱形ABEF中，
∵∠ABE=60°，∴△AEF是等边三角形，
又H是线段EF的中点，∴AH⊥平面ABCD，∴AH⊥BC，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，∴AH⊥平面ABCD，∴AH⊥BC，
在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2CD=4，
∠BAD=∠CDA=90°，得到AC=BC=2

2

，
从而AC²+BC²=AB²，∴AC⊥CD，
∴CB⊥平面AHC，又BC?平面BCE，
∴平面AHC⊥平面BCE．
（2）解：由（1）知AH⊥平面ABCD，如图，分别以AD，AB，AH所在直线为x轴，
y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，4，0），C（2，2，0），D（2，0，0），
E（0，2，2

3

），F（0，-2，2

3

），H（0，0，2

3

），G（1，3，0），
设点M的坐标为（0，m，2

3

），则

GM

，

AD

，

AF

共面，
∴存在实数λ，μ，使得：

CM

=λ

AD

+μ

AF

，即(-1，m-3，2

3

)=(2λ，0，0)+(0，-2μ，2

3

μ)，
∴2λ=-1，m-3=-2μ，2

3

=2

3

μ，
解得m=1，∴M（0，1，2

3

），
由（1）知平面AHC的法向量是

BC

=（2，-2，0），
设平面ACM的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AC =0 n • AM =0

，∴

2x+2y=0 y+2 3 z=0

，
令z=

3

，则y=-6，x=6，即

n

=（6，-6，

3

），
∴cos＜

n

，

BC

＞=

24

2 2 ×5 3

=

2

5

6

．
∴平面ACH与平面ACM所成角的余弦值为

2 6

5

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查平面与平面所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．