Question

已知双曲线C：x²-

y2

3

=1，直线l：y=mx-m+

3

（m∈R），直线l与双曲线C有且只有一个公共点，则m的所有取值个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出直线恒过定点P（1，

3

），再由双曲线x²-

y2

3

=1的渐近线方程为：y=±

3

x，结合双曲线的性质与图形可得过定点P（1，

3

）与双曲线有且只有一个公共点的直线的个数．

解答： 解：直线l：y=mx-m+

3

（m∈R），即为
m（x-1）=y-

3

，恒过定点P（1，

3

），
双曲线的渐近线方程为y=±

3

x，
则P在渐近线y=

3

x上，
则过P作与渐近线y=-

3

x平行的直线，与双曲线只有一个交点；
过P作与x轴垂直的直线与双曲线只有一个交点，但m不存在．
则m的所有取值个数为1．
故选A．

点评：本题以双曲线为载体，主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．突出考查了双曲线的几何性质．