Question

已知R上的奇函数f（x），对任意x∈R，f（x+1）=-f（x），且当x∈（-1，1）时，f（x）=x，则f（3）+f（-7.5）=

 

．

Answer 1

分析：根据函数的周期性和奇偶性，结合条件推出-f（x）=f（-x）=f（x+1），f（x）=f（x+2），由此求得f（3）和f（-7.5）的值，即可求得f（3）+f（-7.5）的值．

解答：解：R上的奇函数f（x），对任意x∈R，f（x+1）=-f（x），再由f（-x）=-f（x），可得f（-x）=f（x+1），
从而可得 f（x）=f（x+2），故函数f（x）是以2为周期的周期函数，故f（0）=f（2）=0．
∴f（3）=-f（3+1）=-f（4）=-f（2）=0，
f（-7.5）=f（-7.5+8）=f（0.5）=0.5，
∴f（3）+f（-7.5）=0+0.5=0.5，
故答案为 0.5．

点评：本题主要考查函数的周期性和奇偶性的综合应用，根据函数的周期性和奇偶性求函数的值，体现了转化的数学思想，属于基础题．