Question

设z₁=1-cosθ+isinθ，z₂=a²+ai（a∈R），若z₁z₂≠0，z₁z₂-

.

z1z2

=0，问在（0，2π）内是否存在θ使（z₁-z₂）²为实数？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：这是一道探索性问题．可根据复数的概念与纯虚数的性质及复数为实数的充要条件，直接进行解答．

解答：解：假设满足条件的θ存在．
因z₁z₂≠0，z₁z₂-

.

z1z2

=0，故z₁z₂为纯虚数．
又z₁z₂=（1-cosθ+isinθ）（a²+ai）
=[a²（1-cosθ）-asinθ]+[a（1-cosθ）+a²sinθ]i，
于是，

a2(1-cosθ)-asinθ=0，① a(1-cosθ)+a2sinθ≠0   ②

由②知a≠0．
因θ∈（0，2π），故cosθ≠1．于是，由①得a=

sinθ

1-cosθ

．
另一方面，因（z₁-z₂）²∈R，故z₁-z₂为实数或为纯虚数．
又z₁-z₂=1-cosθ-a²+（sinθ-a）i，
于是sinθ-a=0，或1-cosθ-a²=0．
若sinθ-a=0，则由方程组

sinθ-a=0 a= sinθ 1-cosθ

得

sinθ

1-cosθ

=sinθ，故cosθ=0，于是θ=

π

2

或θ=

3π

2

．
若1-cosθ-a²=0，则由方程组

1-cosθ-a2=0 a= sinθ 1-cosθ

得（

sinθ

1-cosθ

）²=1-cosθ．
由于sin²θ=1-cos²θ=（1+cosθ）（1-cosθ），故1+cosθ=（1-cosθ）²．
解得cosθ=0，从而θ=

π

2

或θ=

3π

2

．
综上所知，在（0，2π）内，存在θ=

π

2

或θ=

3π

2

，使（z₁-z₂）²为实数．

点评：①解题技巧：解题中充分使用了复数的性质：z≠0，z+z=0?z∈{纯虚数}?

Re(z)=0\?(z)≠0

以及z²∈R?z∈R或z∈{纯虚数}．（注：Re（z），Im（z）分别表示复数z的实部与虚部）
②解题规律：对于“是否型存在题型”，一般处理方法是首先假设结论成立，再进行正确的推理，
若无矛盾，则结论成立；否则结论不成立．