Question

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，B（0，-1）．
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；
（Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点，且，求λ的值；
（Ⅲ）设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF₁的周长的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）易知，所以，，
设P（x，y），则
=．
因为x∈[-2，2]，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值-2．
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1．
（Ⅱ）设C（x₀，y₀），B（0，-1），，由，得 ，
又 ，所以有 λ²+6λ-7=0，解得λ=-7，（λ=1＞0舍去）．
（Ⅲ） 因为|PF₁|+|PB|=4-|PF₂|+|PB|≤4+|BF₂|，∴△PBF₁的周长≤4+|BF₂|+|BF₁|≤8．
所以当P点位于直线BF₂与椭圆的交点处时，△PBF₁周长最大，最大值为8．
分析：（Ⅰ）根据椭圆的方程，求出焦点的坐标，化简的 解析式为，结合x∈[-2，2]，求得它的最值．
（Ⅱ）设C（x₀，y₀），由，用λ 表示 x₀，y₀，把C（x₀，y₀）代入椭圆的方程求得λ值．
（Ⅲ） 因为|PF₁|+|PB|=4-|PF₂|+|PB|≤4+|BF₂|，可得△PBF₁的周长≤4+|BF₂|+|BF₁|≤8．
点评：本题考查椭圆的定义、标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，两个向量的数量积公式，解得λ=-7把λ=1＞0舍去，是解题的易错点．