Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)短轴长为2，P（x₀，y₀）（x₀≠±a）是椭圆上一点，A，B分别是椭圆的左、右顶点，直线PA，PB的斜率之积为-

1

4

．
（1）求椭圆的方程；
（2）当∠F₁PF₂为钝角时，求P点横坐标的取值范围；
（3）设F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，M、N是椭圆右准线l上的两个点，若

F1M

•

F2N

=0，求MN的最小值．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的短轴长为2，可得b=1，再由直线PA，PB的斜率之积为-

1

4

，结合P在椭圆上的特点，列方程可解得a值，从而确定椭圆方程
（2）由余弦定理知∠F₁PF₂为钝角的充要条件为PF12+PF22＜F1F22，利用焦半径公式代入列不等式即可解得P点横坐标的取值范围
（3）由于M、N在右准线上，故MN的长度即为两点纵坐标之差的绝对值，利用

F1M

•

F2N

=0，得纵坐标积的值，再利用均值定理即可得纵坐标差的绝对值的最小值，进而得MN的最小值

解答：解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)短轴长为2，
∴b=1，A（-a，0），B（a，0），y02=1-

x 02

a2

=

a2-x 02

a2

∴直线PA，PB的斜率之积k_PA•k_PB=

y0

x0+a

×

y0

x0-a

=

y0 2

x0 2-a  2

=-

1

a2

=-

1

4

∴a=2
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）椭圆的a=2，离心率e=

3

2

因为∠F₁PF₂为钝角，所以PF12+PF22＜F1F22，
所以(a+ex0)2+(a-ex0)2＜12，
即（2+

3

2

x₀）²+（2-

3

2

x₀）²＜12
解得-

2 6

3

＜x0＜

2 6

3

，
即P点横坐标的取值范围为(-

2 6

3

，

2 6

3

)．
（3）椭圆的右准线方程为x=

a2

c

=

4 3

3

因为M、N是椭圆右准线l上的两个点，故设M(

4

3

3

，y1)，N(

4

3

3

，y2)，
因为

F1M

•

F2N

=0，所以F₁M⊥F₂N．
即

y1

7 3 3

•

y2

3 3

=-1，即y1y2=-

7

3

，所以y₁，y₂异号．
所以MN=|y1-y2|=|y1|+|y2|≥2

7 3

=

2 21

3

，
当且仅当y₁=-y₂，即y1=

21

3

，y2=-

21

3

或y1=-

21

3

，y2=

21

3

取等号．
所以MN的最小值为

2 21

3

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其求法，椭圆的离心率，准线，焦点三角形等几何性质，向量与解析几何的综合，最值问题的解法