Question

定义运算a*b=

ab+2a-b 2 - 3 4 ，a≤b b2-ab ，a＞b

，设函数f（x）=（2x+1）*（x+1），且关于x的方程f（x）=m恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，则x₁x₂x₃的取值范围是

(0，

9

4

)

．

Answer 1

分析：先由新定义得出函数f（x）的解析式，进而画出其图象并求出方程f（x）=m取得三个根的条件，最后再求出x₁x₂x₃的取值范围即可．

解答：解：由定义可知：f（x）=

x2+3x+ 1 4 ，当x≤0时 -x2-x，当x＞0时

，画出图象如图所示：
∵当x≤0时，f（x）=(x+

3

2

)2-2≥-2；当x＞0时，f（x）=-(x+

1

2

)2+

1

4

＜0．
∴当-2＜m＜0时，关于x的方程f（x）=m恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，
不妨设x₁＜x₂＜x₃，则x₁，x₂是方程x2+3x+

1

4

=m的两个根，x₃是方程-x²-x=m的正根．
∴x1x2=

1

4

-m，x3=

1-4m -1

2

．
∴x₁x₂x₃=

(1-4m)( 1-4m -1)

8

（-2＜m＜0）．
令

1-4m

=t，即1-4m=t²．又∵-2＜m＜0，∴1＜t＜3．
φ（t）=

t2(t-1)

8

，
则φ′(t)=

3t2-2t

8

=

3t(t- 2 3 )

8

，
∵1＜t＜3，∴φ^′（t）＞0，∴函数φ（t）在区间（1，3）上单调递增，∴φ（1）＜φ（t）＜φ（3），即0＜φ（t）＜

9

4

．
∴x₁x₂x₃的取值范围是(0，

9

4

)．
故答案为(0，

9

4

)．

点评：本题考查的是新定义、方程的根的存在性及根的个数，由新定义正确得出函数的解析式并画出图象，进而求出方程f（x）=m取得三个根的条件是解题的关键．