Question

已知函数f（x）=|2x+1|-|x|．
（1）求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若存在x∈R，使得f（x）≤m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,带绝对值的函数

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）转化函数为分段函数，把关于x的不等式f（x）＞0转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值，即可求得m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

-x-1，x＜- 1 2 3x+1，- 1 2 ≤x≤0 x+1，x＞0

，当x＜-

1

2

时，-x-1＞0，得x＜-1；
当-

1

2

≤x≤0时，3x+1＞0，得x＞-

1

3

；即，-

1

3

＜x≤0；
当x＞0时，x+1＞0，得x＞-1，可得x＞0；
综上，不等式的解集为：{x|x＜-1或x＞-

1

3

}．
（Ⅱ）由（1）f（x）=

-x-1，x＜- 1 2 3x+1，- 1 2 ≤x≤0 x+1，x＞0

，
可知，f_min（x）=f（

1

2

）=-

1

2

．
若存在x∈R，使得f（x）≤m成立，则实数m≥-

1

2

，
实数m的取值范围：[-

1

2

，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．