Question

2．已知f（x）=（a-1）（a^x-a^-x）（a＞0，且a≠1）．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的定义即可判断证明；
（2）分a＞1，0＜a＜1两种情况讨论即可利用定义作出证明；

解答 解：（1）函数的定义域为（-∞，+∞），
则f（-x）=（a-1）（a^-x-a^x）=-（a-1）（a^x-a^-x）=-f（x），
则f（x）为奇函数．
（2）任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（a-1）（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{-{x}_{1}}$）-（a-1）（${a}^{{x}_{2}}-{a}^{-{x}_{2}}$）=（a-1）•$\frac{（{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}）（{a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+1）}{{a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$，
①当a＞1时，a-1＞0，又x₁＜x₂，${a}^{{x}_{1}}$＜${a}^{{x}_{2}}$，${a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+1＞0$，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）为增函数；
②当0＜a＜1时，a-1＜0，当x₁＜x₂，${a}^{{x}_{1}}$＞${a}^{{x}_{2}}$，x₁0，${a}^{{x}_{1}+{x}_{2}}+1＞0$，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）也为增函数，
综上f（x）为增函数．

点评 本题考函数奇偶性、单调性的证明及其应用，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力．利用定义法是解决本题的关键．