Question

设k∈R，x₁，x₂是方程x²-2kx+1-k²=0的两个实数根，则x₁²+x₂²的最小值为

 

Answer 1

分析：x₁，x₂是方程x²-2kx+1-k²=0的两个实数根，故方程有实数根，则△≥0，由此不难求出参数K的范围，而要求x₁²+x₂²的最小值可以先将x₁²+x₂²化为（x₁+x₂）²-2x₁•x₂的形式再利用韦达定理（即一元二次方程根与系数的关系）将其转化为关于K的不等式，进面求出x₁²+x₂²的最小值．

解答：解：∵x₁，x₂是方程x²-2kx+1-k²=0的两个实数根
△=（2k）²-4（1-k²）=8k²-4≥0
即k2≥

1

2

又∵x₁+x₂=2k，x₁•x₂=1-k²
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=6k²-2≥1
故x₁²+x₂²的最小值为1
故答案为：1

点评：代数的核心内容是函数，但由于函数、不等式、方程之间的辩证关系，故我们在解决函数问题是经常要用到方程的性质，其中韦达定理是最重要的方程的性质，其内容为：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x₁，x₂，则x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a