Question

11．作已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过F₂的直线l交C于M，N两点，若△MF₁N的周长为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得4a=8，结合e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$及隐含条件求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）设出A、B的坐标A（t，2），B（x₀，y₀），x₀≠0，利用OA⊥OB把A的坐标用B的坐标表示，求出线段AB长度（用含有B的横坐标的代数式表示），再利用基本不等式求出AB长度的最小值．

解答 解：（1）由题意可知，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{4a=8}\end{array}\right.$，解得a=2，c=$\sqrt{2}$，
∴b²=a²-c²=4-2=2，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）设A（t，2），B（x₀，y₀），x₀≠0，则
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，则tx₀+2y₀=0，
∴t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∵x₀²+2y₀²=4，
∴|AB|²=（x₀-t）²+（y₀-2）²=（x₀+$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$）²+$（{y}_{0}+2）^{2}$
=x₀²+y₀²+$\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$+4=x₀²+$\frac{4-{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{2（4-{{x}_{0}}^{2}）}{{{x}_{0}}^{2}}$+4=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$+4（0＜x₀²≤4），
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$≥4（0＜x₀²≤4），
当且仅当$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}=\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$，即x₀²=4时等号成立，
∴|AB|²≥8．
∴线段AB长度的最小值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．