Question

已知常数a＞0，函数f(x)=

x3+ 3a4 x ，|x|≥ a 2 49 4 a2x，|x|＜ a 2

（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若0＜a≤2，求f（x）在区间[1，2]上的最小值g（a）；
（3）是否存在常数t，使对于任意x∈(

a

2

，2t-

a

2

)(t＞

a

2

)时，f（x）f（2t-x）+f²（t）≥[f（x）+f（2t-x）]f（t）恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）分段确定函数的单调递增区间，即可得到函数f（x）的单调递增区间；
（2）根据函数的通项，分类讨论，确定函数的单调性，从而可得函数的最小值；
（3）由f（x）f（2t-x）+f²（t）≥[f（x）+f（2t-x）]f（t），可得[f（t）-f（x）][f（t）-f（2t-x）]≥0，从而可得t为极小值点，或t为极大值点，根据x∈(

a

2

，2t-

a

2

)，即可求得结论．

解答：解：（1）当|x|＜

a

2

时，f(x)=

49

4

a2x为增函数． …（1分）
当|x|≥

a

2

时，f'（x）=3x²-

3a4

x2

．
令f'（x）＞0，得x＞a或x＜-a．…（3分）
∴f（x）的增区间为（-∞，-a），(-

a

2

，

a

2

)和（a，+∞）．…（4分）
（2）函数的图象如图，由图可知，

①当1＜a＜2时，

a

2

＜1＜a，f（x）在区间[1，a]上递减，在[a，2]上递增，最小值为f（a）=4a³；…（6分）
②当0＜a≤1时，f（x）在区间[1，2]为增函数，最小值为f（1）=1+3a⁴；…（8分）
③当a=2时，f（x）在区间[1，2]为减函数，最小值为f（a）=4a³； …（9分）
综上，f（x）最小值g(a)=

1+3a4，0＜a≤1 4a3，1＜a≤2

．  …（10分）
（3）由f（x）f（2t-x）+f²（t）≥[f（x）+f（2t-x）]f（t），
可得[f（t）-f（x）][f（t）-f（2t-x）]≥0，…（12分）
即

f(t)≤f(x) f(t)≤f(2t-x)

或

f(t)≥f(x) f(t)≥f(2t-x)

成立，所以t为极小值点，或t为极大值点．
又x∈(

a

2

，2t-

a

2

)时，f（x）没有极大值，所以t为极小值点，即t=a…（16分）
（若只给出t=a，不说明理由，得1分）

点评：本题考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确理解题意是关键．