Question

已知四棱锥P－ABCD的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，如图分别是四棱锥P－ABCD的侧视图和俯视图．

(1)求证：AD⊥PC；

(2)求四棱锥P－ABCD的侧面PAB的面积．

 

Answer 1

（1）见解析（2）6

【解析】(1)证明：依题意，可知点P在平面ABCD上的射影是线段CD的中点E，如图，连接PE，则PE⊥平面ABCD.

∵AD?平面ABCD，∴AD⊥PE.

∵AD⊥CD，CD∩PE＝E，CD?平面PCD，PE?平面PCD，∴AD⊥平面PCD.

∵PC?平面PCD，∴AD⊥PC.

(2)依题意，在等腰三角形PCD中，PC＝PD＝3，DE＝EC＝2，在Rt△PED中，PE＝ ＝.

过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接PF，

∵PE⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴AB⊥PE.

∵EF?平面PEF，PE?平面PEF，EF∩PE＝E，∴AB⊥平面PEF.

∵PF?平面PEF，∴AB⊥PF.

依题意得EF＝AD＝2.

在Rt△PEF中，PF＝ ＝3，

∴△PAB的面积S＝·AB·PF＝6.

∴四棱锥P－ABCD的侧面PAB的面积为6