Question

设x，y满足

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为24，则

6

a

+

4

b

的最小值为（　　）

A．4

B．8

C．12

D．24

Answer 1

分析：由约束条件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，画出可行域．目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）变形为y=-

a

b

x+

z

b

．作出函数y=-

a

b

x，向上平移，当直线y=-

a

b

x+

z

b

经过点A时，焦距

z

b

取得最大值，求出点A的坐标，即可得出a，b满足的条件，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出答案．

解答：解：设x，y满足

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，画出可行域，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）变形为y=-

a

b

x+

z

b

．
∵a＞0，b＞0，∴-

a

b

＜0．
作出函数y=-

a

b

x，向上平移，当直线y=-

a

b

x+

z

b

经过点A时，焦距

z

b

取得最大值，
即z取得最大值24．
联立

3x-y-6=0 x-y+2=0

解得

x=4 y=6

，即A（4，6）．
∴24=4a+6b，化为12=2a+3b．
∴

6

a

+

4

b

=

1

12

(2a+3b)(

6

a

+

4

b

)=

1

6

(12+

9b

a

+

4a

b

)≥

1

6

(12+2

9b a × 4a b

)=4，当且仅当3b=2a=6时取等号．
则

6

a

+

4

b

的最小值为4．
故选A．

点评：本题综合考查了线性规划的约束条件和可行域、目标函数、最优解、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于难题．