Question

13．已知椭圆M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），点F₁（-1，0）、C（-2，0）分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点F₁的直线l（不与x轴重合）交M于A，B两点．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）若$A（0，\sqrt{3}）$，求△AOB的面积；
（3）是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过左焦点、左顶点的坐标可知$a=2，b=\sqrt{3}$，进而可得结论；
（2）通过两点式可知直线l的方程为：$\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}=0$，并与椭圆方程联立可得B点纵坐标，进而利用三角形面积公式计算即得结论；
（2）通过设B（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），利用$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}$=0即$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{B{F}_{1}}$=0，化简即可．

解答 解：（1）由F₁（-1，0）、C（-2，0）得：$a=2，b=\sqrt{3}$．…（2分）
∴椭圆M的标准方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；   …（4分）
（2）因为$A（0，\sqrt{3}）$，F₁（-1，0），
所以过A、F₁的直线l的方程为：$\frac{x}{-1}+\frac{y}{{\sqrt{3}}}=1$，
即$\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}=0$，…（6分）
解方程组$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}=0\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得${y_1}=\sqrt{3}，{y_2}=-\frac{{3\sqrt{3}}}{5}$，…（8分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×1×|{y_1}-{y_2}|=\frac{{4\sqrt{3}}}{5}$；…（10分）
（2）结论：不存在直线l使得点B在以AC为直径的圆上．
理由如下：
设B（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），则$\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{3}=1$．
假设点B在以线段AC为直径的圆上，
则$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}$=0，即$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{B{F}_{1}}$=0，
因为C（-2，0），F₁（-1，0），
所以 $\overrightarrow{B{F_1}}•\overrightarrow{BC}=（-1-{x_0}，-{y_0}）•（-2-{x_0}，-{y_0}）$
=$2+3{x_0}+x_0^2+y_0^2$
=$\frac{1}{4}{x_0}^2+3{x_0}+5=0$，…（12分）
解得：x₀=-2或-6，…（14分）
又因为-2＜x₀＜-6，所以点B不在以AC为直径的圆上，
即不存在直线l，使得点B在以AC为直径的圆上． …（16分）

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．