Question

7．已知定义域为R的奇函数f（x）的导数为f′（x），当x≠0时，f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，若a=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$），b=-2f（-2），c=ln$\frac{1}{2}$f（ln2），则下列关于a，b，c的大小关系正确的是（　　）

• A． a＞b＞c
• B． a＞c＞b
• C． c＞b＞a
• D． b＞a＞c

Answer 1

分析 利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小

解答 解：设h（x）=xf（x），
∴h′（x）=f（x）+x•f′（x），
∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，
∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，
当x＞0时，h'（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，
∴此时函数h（x）单调递增．
∵a=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=h（$\frac{1}{2}$），b=-2f（-2）=2f（2）=h（2），c=（ln$\frac{1}{2}$）f（ln2）=-h（ln2），
又2＞ln2＞$\frac{1}{2}$，
∴b＞-c＞a．
∴b＞a＞c．
故选：D．

点评 本题主要考查如何构造新的函数，利用单调性比较大小，是常见的题目．本题属于中档题．