Question

12．已知非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ 满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|且3$\overrightarrow{a}$²=$\overrightarrow{b}$²，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的夹角为$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 根据向量的模相等得到，得到向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ 垂直，利用数量积的定义可求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的夹角的余弦值．

解答 解：因为|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，所以|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²，得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，又3$\overrightarrow{a}$²=$\overrightarrow{b}$²，所以$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}|$=|$\overrightarrow{b}$|，|
所以$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的夹角的余弦值为$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|}$=$\frac{-{\overrightarrow{a}}^{2}}{|\overrightarrow{a}|\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}}}$=$-\frac{1}{2}$，
所以$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的夹角为$\frac{2π}{3}$；
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积、模的运算；关键是由已知等式得到两个向量垂直．