Question

已知函数y=(sinx+cosx)2+2

3

cos2x求它的最大、最小值，并指明函数取最大、最小值时相应x的取值集合．

Answer 1

分析：先对所给的函数的解析进行化简，得到y=2sin（2x+

π

3

）+1+

3

，再判断最值及相应的自变量的取值集合．

解答：解：由题y=(sinx+cosx)2+2

3

cos2x=1+sin2x+

3

（1+cos2x）=2sin（2x+

π

3

）+1+

3

它的最大值是3+

3

，此时2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈z，x=kπ+

π

6

，k∈z，函数取最大值时相应x的取值集合{x|x=kπ+

π

6

，k∈z}
它的最小值是3-

3

，此时2x+

π

3

=2kπ-

π

2

，k∈z，x=kπ-

5π

6

，k∈z，函数取最大值时相应x的取值集合{x|x=kπ+

5π

6

，k∈z}

点评：本题目考查三角函数的最值，解题的关键是根据三角恒等变换公式，将所给的三角解析式化简函数y=Asin（ωx+φ）的形式，再由三角的性质求出最值，及取到最值时相应x的取值集合．