Question

已知数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令bn=

an

2an

，求数列{b_n}前n项和

Answer 1

分析：（1）根据首项为2，利用等差数列的通项公式化简a₁+a₂+a₃=12，得到公差d的值，利用首项和公差写出等差数列的通项公式即可；（2）把数列{a_n}的通项公式代入bn=

an

2an

中得到数列{b_n}的通项公式，列举出前n项的和S_n①，两边都除以4得到②，然后①-②后利用等比数列的前n项和的公式即可化简得到S_n的通项公式．

解答：解：（1）由已知a₁=2，a₁+a₂+a₃=12，得a₁+a₁+d+a₁+2d=12，即a₁+d=4，
则a₂=4，又a₁=2，
∴d=2，a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）由（1）知bn=

2n

4n

，设数列{b_n}前n项和为S_n，则S_n=

2

4

+

2×2

42

+…+

2n

4n

①，

Sn

4

=

2

16

+

2×2

43

+

2×3

44

+…+

2(n-1)

4n

+

2n

4n+1

②，
又①-②错位相减得：

3

4

S_n=

1

2

+

1

4

-

1

8

+

2

43

（1+

1

4

+…+

2

4n-3

）-

2n

4n+1

=

5

8

+

1

32

×

1- 1 4n-2

1- 1 4

-

2n

4n+1

=

2

3

-

3n+4

6×4n

，则S_n=

4

3

×

2

3

-

4

3

×

3n+4

6×4n

=

8

9

-

6n+8

9×4n

所以数列{b_n}前n项和Sn=

8

9

-

6n+8

9×4n

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及等比数列的前n项和的公式化简求值，会利用错位相减法求数列的和，是一道中档题．