Question

已知动点P与直x=4的距离等于它到定点F（1，0）的距离的2倍，
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）点M（1，1）在所求轨迹内，且过点M的直线与曲线C交于A、B，当M是线段AB中点时，求直线AB的方程．

Answer 1

（1）设动点P（x，y），由

|x-4|

(x-1)2+y2

=2，平方整理得

x2

4

+

y2

3

=1即为轨迹C的方程．
（2）当直线AB的斜率不存在时，直线x=1与椭圆交于两点，由图形的对称性，
线段AB的中点应在x轴上，M点不满足题意．故直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y-1=k（x-1）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

x12 4 + y12 3 = 1 x22 4 + y22 3 =1

作差得

x12-x22

4

=-

y12-y22

3

∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

x1+x2

y1+y2

=-

3

4

∴直线AB的方程为：y-1=-

3

4

(x-1)
即3x+4y-7=0