Question

已知动点P与直x=4的距离等于它到定点F（1，0）的距离的2倍，
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）点M（1，1）在所求轨迹内，且过点M的直线与曲线C交于A、B，当M是线段AB中点时，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（1）利用点到直线的距离公式及两点间的距离公式将已知的几何条件转化为坐标关系，化简得到动点P的轨迹C的方程．
（2）先检验直线斜率不存在时，再设出直线斜率存在的方程，设出两交点坐标，将两交点的坐标代入椭圆方程，两个等式相减得到直线的斜率与中点的坐标的关系，求出直线的方程．

解答：解：（1）设动点P（x，y），由

|x-4|

(x-1)2+y2

=2，平方整理得

x2

4

+

y2

3

=1即为轨迹C的方程．
（2）当直线AB的斜率不存在时，直线x=1与椭圆交于两点，由图形的对称性，
线段AB的中点应在x轴上，M点不满足题意．故直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y-1=k（x-1）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

x12 4 + y12 3 = 1 x22 4 + y22 3 =1

作差得

x12-x22

4

=-

y12-y22

3

∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

x1+x2

y1+y2

=-

3

4

∴直线AB的方程为：y-1=-

3

4

(x-1)
即3x+4y-7=0

点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题，若牵扯到相交弦的中点问题，一般利用设出交点坐标，代入圆锥曲线的方程，作差得到直线的斜率与相交弦的中点坐标间的关系．