Question

如图，已知圆O₁与圆O₂外切于点P，过点P的直线交圆O₁于点A，交圆O₂于点B，AC为O₁的直径，BD切O₂于B，交AC延长线于D．
（1）求证：AD⊥BD；
（2）求证：若BC、PD相交于点M，则AP•BM=AD•PM．

Answer 1

分析：（I）如图，过点P作两圆公切线交BD于T，连接PC，利用AC为直径，可得∠APC=90°，于是∠BPC=∠TPC+∠TPB=90°，又BD与⊙O₂相切于B，PT为两圆公切线，可得∠TPC=∠A，∠TBP=∠TPB，得到∠A+∠TBP=90°，再利用三角形的内角和定理可得∠ADB=90°，即可证明AD⊥BD．
（II）如图所示，由（Ⅰ）易证△APC∽△ADB，利用三角形相似的性质可得对应边成比例，又由（Ⅰ）知∠ACP=∠DBP，可得P、B、D、C四点共圆，又易证△PCM∽△BDM，再利用三角形相似的性质即可得出．

解答：证明：（Ⅰ）如图，过点P作两圆公切线交BD于T，
连接PC，∵AC为直径，∴∠APC=90°，
∴∠BPC=∠TPC+∠TPB=90°，
又BD与⊙O₂相切于B，PT为两圆公切线，
∴∠TPC=∠A，∠TBP=∠TPB，
∴∠A+∠TBP=90°，
故∠ADB=90°，∴AD⊥BD．
（Ⅱ）如图所示，由（Ⅰ）易证△APC∽△ADB，
∴

PC

BD

=

AP

AD

，又由（Ⅰ）知∠ACP=∠DBP，
∴P、B、D、C四点共圆，又易证△PCM∽△BDM，∴

PC

BD

=

PM

BM

，
∴

PM

BM

=

AP

AD

，
∴AP•BM=AD•PM．

点评：本题中考查了相切两圆的切线性质、弦切角定理、圆的直径的性质、三角形相似的性质、四点共圆的性质等基础知识与基本方法，属于难题．