Question

（2004•朝阳区一模）设z₁，z₂是两个非零复数，且|z₁+z₂|=|z₁-z₂|；设复数z=z₁+z₂，在复平面内与复数z、z₁、z₂对应的向量分别为

OZ

、

OZ1

、

OZ2

．
（Ⅰ）在复平面内画出向量

OZ

、

OZ1

、

OZ2

，并说出以O、Z₁、Z、Z₂为顶点的四边形的名称；
（Ⅱ）求证：(

z1

z2

)2是负实数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由两个非零复数满足|z₁+z₂|=|z₁-z₂|，说明以向量

OZ1

，

OZ2

为邻边的四边形是矩形，又复数z=z₁+z₂，由向量假发的三角形法则可得复数z对应的向量

OZ

；
（Ⅱ）把给出的等式两边同时除以复数z₂，然后利用其几何意义得到

z1

z2

是纯虚数，则结果得到证明．

解答：解：（Ⅰ）图形如图，

所画图形是矩形．
（Ⅱ）证明：由|z₁+z₂|=|z₁-z₂|，∵z₁、z₂不等于零，得|

z1

z2

+1|=|

z1

z2

-1|，
它表示复数

z1

z2

在复平面上对应的点，到点（-1，0），（1，0）的距离相等，
∴

z1

z2

对应的点是复平面虚轴上的点．
∴

z1

z2

是纯虚数．
∴(

z1

z2

)2是负实数．

点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，解答的关键是对基本概念的理解，是基础题．