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(1)已知正数x、y满足2x+y=1,求
1
x
+
1
y
的最小值及对应的x、y值.
(2)已知x、y为正实数,且2x+y+6=xy,求x+y的最小值.
分析:(1)由于正数x、y满足2x+y=1,可得
1
x
+
1
y
=(2x+y)(
1
x
+
1
y
)
=3+
y
x
+
2x
y
,利用基本不等式即可得出;
(2)由于x、y为正实数,且2x+y+6=xy,可知:x≠1.于是y=
2x+6
x-1

可得x+y=x+
2x+6
x-1
=(x-1)+
8
x-1
+3
,再利用基本不等式即可得出.
解答:解:(1)∵正数x、y满足2x+y=1,
1
x
+
1
y
=(2x+y)(
1
x
+
1
y
)
=3+
y
x
+
2x
y
≥3+2
y
x
2x
y
=3+2
2
,当且仅当x=1-
2
2
,y=
2
-1
时取等号.
1
x
+
1
y
的最小值是3+2
2

(2)∵x、y为正实数,且2x+y+6=xy,可知:x≠1.
∴y=
2x+6
x-1

∴x+y=x+
2x+6
x-1
=(x-1)+
8
x-1
+3
≥2
8
x-1
•(x-1)
+3
=3+4
2
,当且仅当x=2
2
+1时取等号.
∴x+y的最小值为3+4
2
点评:本题考查了基本不等式的性质应用,恰当变形是解题的关键,注意“一正,二定,三相等”法则,属于中档题.
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+
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