【题目】设椭圆的左、右交点分别为, ,点满足.
()求椭圆的离心率.
()设直线与椭圆相交于, 两点,若直线与圆相交于, 两点,且,求椭圆的方程.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)直接利用|PF2|=|F1F2|,对应的方程整理后即可求椭圆的离心率e;(Ⅱ)先把直线PF2与椭圆方程联立求出A,B两点的坐标以及对应的|AB|两点,进而求出|MN|,再利用弦心距,弦长以及圆心到直线的距离之间的等量关系,即可求椭圆的方程
试题解析:(Ⅰ)设, .
因为,则, ,
由,有,即, (舍去)或.
所以椭圆的离心率为.
(Ⅱ) 解.因为,所以, .所以椭圆方程为.
直线的斜率,则直线的方程为.
两点的坐标满足方程组
消去并整理得.则, .
于是 不妨设, .
所以.
于是.
圆心到直线的距离,
因为,所以,即,
解得(舍去),或.于是, .
所以椭圆的方程为.
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【题目】已知集合A={x∈R|x2-ax+b=0},B={x∈R|x2+cx+15=0},A∩B={3},A∪B={3,5}.
(1)求实数a,b,c的值;
(2)设集合P={x∈R|ax2+bx+c≤7},求集合P∩Z.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点在抛物线: 上,直线: 与抛物线交于, 两点,且直线, 的斜率之和为-1.
(1)求和的值;
(2)若,设直线与轴交于点,延长与抛物线交于点,抛物线在点处的切线为,记直线, 与轴围成的三角形面积为,求的最小值.
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【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC且AB⊥BC,
(Ⅰ)求证:AC⊥A1B;
(Ⅱ)求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值.
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【题目】已知点、为双曲线的左、右焦点,过作垂直于轴的直线,在轴上方交双曲线于点,且.
(1)求双曲线的两条渐近线的夹角;
(2)过点的直线和双曲线的右支交于、两点,求的面积的最小值;
(3)过双曲线上任意一点分别作该双曲线两条渐近线的平行线,它们分别交两条渐近线于、两点,求平行四边形的面积.
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