【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC且AB⊥BC,
(Ⅰ)求证:AC⊥A1B;
(Ⅱ)求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值.
【答案】(1) 见解析(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)作AC的中点O,由A1A=A1C,且O为AC的中点,得A1O⊥AC,再由面面垂直的性质可得A1O⊥底面ABC,以O为坐标原点,OB、OC、OA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,求出所用点的坐标,由=0,可得AC⊥A1B;
(Ⅱ)求出平面AA1C与平面A1CB的法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣A1C﹣B的余弦值.
试题解析:
(Ⅰ)证明:作AC的中点O,∵A1A=A1C,且O为AC的中点,∴A1O⊥AC,
又侧面AA1C1C⊥底面ABC,其交线为AC,且A1O平面AA1C1C,
∴A1O⊥底面ABC,
以O为坐标原点,OB、OC、OA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,
由已知得:O(0,0,0),A(0,﹣1,0),A1(0,0,),C(0,1,0),C1(0,2,
),B(1,0,0).
则有:,
,
∵=0,∴AC⊥A1B;
(Ⅱ)解:平面AA1C的一个法向量为.
设平面A1CB的一个法向量,
由,取z=1,得
.
∴cos<>=
.
∴二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为.
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【题目】某班同学利用国庆节进行社会实践,对岁的人群随机抽取
人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:
组数 | 分组 | 低碳族的人数 | 占本组的频率 |
第一组 | 120 | 0.6 | |
第二组 | 195 | ||
第三组 | 100 | 0.5 | |
第四组 | 0.4 | ||
第五组 | 30 | 0.3 | |
第六组 | 15 | 0.3 |
(1)补全频率分布直方图并求、
、
的值;
(2)从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动,如何抽取?
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【题目】某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池,其容积为立方米,深为
.如果池底每平方米的造价为
元,池壁每平方米的造价为
元,那么怎样设计水池能使总造价最低(设蓄水池池底的相邻两边边长分别为
,
)?最低总造价是多少?
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【题目】小王在年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x年年底出售,其销售价格为25-x万元(国家规定大货车的报废年限为10年).
(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?
(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大(利润=累计收入+销售收入-总支出)?
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(Ⅰ)证明 PA//平面EDB;
(Ⅱ)证明PB⊥平面EFD.
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【题目】某年级教师年龄数据如下表:
年龄(岁) | 人数(人) |
22 | 1 |
28 | 2 |
29 | 3 |
30 | 5 |
31 | 4 |
32 | 3 |
40 | 2 |
合计 | 20 |
(1)求这20名教师年龄的众数与极差;
(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名教师年龄的茎叶图;
(3)现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议,求所选的2位教师年龄不全相同的概率.
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