Question

24、已知α₁，α₂，…α_n∈（0，π），n是大于1的正整数，求证：|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n．

Answer 1

分析：我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n当n=2时成立，再假设不等式|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n当n=k（k≥1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n也成立，最后得证不等式．

解答：证明：下面用数学归纳法证明
（1）n=2时，|sin（α₁+α₂）|-|sinα₁cosα₂+cosα₁sinα₂|≤sinα₁|cosα₂|+|cosα₁|•|sinα₂|＜sinα₁+sinα₂，
所以n=2时成立．
（2）假设n=k（k≥2）时成立，即
|sin（α₁+α₂+Λ+α_k）|＜sinα₁+sinα₂+Λ+sinα_k
当n=k+1时，|sin（α₁+α₂+Λ+α_k+1）|=
=|sinα_k+1cos（α₁+Λα_k）+cosα_k+1sin（α₁+Λα_k）|
≤sinα_k+1|cos（α₁+Λ+α_k）|+|cosα_k+1|•|sin（α₁+Λα_k）|
＜sinα_k+1+|sin（α₁+Λα_k）|
＜sinα₁+sinα₂+Λ+sinα_k+1
∴n=k+1时也成立．
由（1）（2）得，原式成立．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立（由于本题要求n为大于1的整数，故本题第一步为n=2时）；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．