Question

【题目】将所有平面向量组成的集合记作, 是从到的映射, 记作或, 其中都是实数. 定义映射的模为: 在的条件下的最大值, 记做. 若存在非零向量, 及实数使得, 则称为的一个特征值.

（Ⅰ）若, 求;

（Ⅱ）如果, 计算的特征值, 并求相应的;

（Ⅲ）试找出一个映射, 满足以下两个条件: ①有唯一的特征值, ②. (不需证明)

Answer 1

【答案】（1）1（2） ,, , (3)见解析.

【解析】

（1）由新定义可得=，利用=1，可得≤1，从而可得结论；

（2）由特征值的定义可得：，由此可得f的特征值，及相应的；

（3）解方程组，可得x1（a1﹣λ，b1）+x2（a2，﹣b1﹣λ）=0，从而可得a1，a2，b1，b2应满足的条件，当f（）=λ时，f有唯一的特征值，且||f||=|λ|，再进行证明即可．

（1）由于此时=，

又因为是在=1的条件下，有==≤1（x2=±1时取最大值），

所以此时有||f||=1；

（2）由f（x1，x2）=（x1+x2，x1﹣x2）=λ（x1，x2），可得：，

解此方程组可得：（λ﹣1）（λ+1）=1，从而λ=±．

当λ=时，解方程组，此时这两个方程是同一个方程，

所以此时方程有无穷多个解，为（写出一个即可），其中m∈R且m≠0．

当λ=﹣时，同理可得，相应的（写出一个即可），其中m∈R且m≠0．

（3）解方程组，可得x1（a1﹣λ，b1）+x2（a2，﹣b1﹣λ）=0

从而向量（a1﹣λ，b1）与（a2，﹣b1﹣λ）平行，

从而有a1，a2，b1，b2应满足：．

当f（）=λ时，f有唯一的特征值，且||f||=|λ|．

具体证明为：

由f的定义可知：f（x1，x2）=λ（x1，x2），所以λ为特征值．

此时a1=λ，a2=0，b1=0，b2=λ满足：，所以有唯一的特征值．

在=1的条件下=λ2，从而有||f||=|λ|．