Question

已知关于x的实系数一元二次不等式ax²+bx+c≥0（a＜b）的解集为R，则M=

a+2b+4c

b-a

的最小值是

8

．

Answer 1

分析：根据题意，由一元二次不等式的性质，可得△=b²-4ac≤0，a＞0，对于M，分子、分母同乘a，进而对其变形可得M=

1+2• b a +( b a )2

b a -1

，由换元法，令

b

a

=t，(t＞1)，结合基本不等式分析可得答案．

解答：解：由题意，ax²+bx+c≥0（a＜b）的解集为R，
则必有△=b²-4ac≤0，a＞0，
对于M=

a+2b+4c

b-a

，分子、分母同乘a可得，M=

a2+2ab+4ac

a(b-a)

≥

a2+2ab+b2

ab-a2

=

1+2• b a +( b a )2

b a -1

，
令

b

a

=t，(t＞1)，
则M≥

t2+2t+1

t-1

=(t-1)+

4

t-1

+4≥2

4

+4=8（当且仅当t=3，即b=3a时等号成立）；
故答案为8．

点评：本题考查基本不等式的应用，关键是对M变形，转化为基本不等式的问题．