Question

（2013•牡丹江一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB丄平面PAD，PD=AD，E为PB的中点，向量

DF

=

1

2

AB

，点H在AD上，且

PH

•

AD

=0
（I）EF∥平面PAD．
（II）若PH=

3

，AD=2，AB=2，CD=2AB，
（1）求直线AF与平面PAB所成角的正弦值．
（2）求平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明EF∥平面PAD，是证线面平行，可想到在平面PAD内找到一条与EF平行的直线，由E为PB的中点，想到取PA的中点Q，通过三角形的中位线知识证明四边形EFDQ为平行四边形，从而证出EF∥DQ，则证出EF∥平面PAD．
（Ⅱ）（1）由已知条件证出PH⊥平面ABCD，在平面ABCD内过H作AB的平行线后得到三条两两互相垂直的线段，然后以H为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面PAB的法向量，则向量

AF

与平面PAB的法向量所成角的余弦值的绝对值为直线AF与平面PAB所成角的正弦值．
（2）求出平面PAD与平面PBC的法向量，由两个法向量所成角的余弦值求平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：如图，
 取PA的中点Q，连结EQ、DQ，
则∵E是PB的中点，∴EQ∥AB，且EQ=

1

2

AB，
又∵

DE

=

1

2

AB

，∴DF∥AB，且DF=

1

2

AB，∴EQ∥DF，且EQ=DF，
∴四边形EQDF为平行四边形，∴EF∥QD，
又∵EF?平面PAD，且DQ?平面PAD，∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）解：（1）由

PH

•

AD

=0，得PH⊥AD，
∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥PH，又AD∩AB=A，∴PH⊥平面ABCD，
在平面ABCD内过点H作HG∥AB，∴HG⊥平面PAD，
以H为原点，分别以HA，HG，GP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系H-xyz，
∵PD=AD=2PH=

3

，∴在Rt△PHD中，HD=

PD2-PH2

=

22-( 3 )2

=1，
∴H为AD中点，则A（1，0，0），P(O，O，

3

)，B（1，2，0），E(

1

2

，1，

3

2

)，F（-1，1，0），
∴

AF

=(-2，1，0)，
设平面PAB的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
∵

PA

=(1，0，-

3

)，

PB

=(1，2，-

3

)，
由

n ⊥ PA n ⊥ PB

，得

n • PA =0 n • PB =0

，∴

x- 3 z=0 x+2y- 3 z=0

，令z=

3

，得x=3，y=0．
∴

n

=(3，0，

3

)
设直线AF与平面PAB所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

AF

，

n

＞|=|

AF • n

| AF || n |

|=|

-2×3

(-2)2+12 × 32+( 3 )2

|=

3

5 × 3

=

15

5

∴直线AF与平面PAB所成角的正弦值为

15

5

．
（2）显然向量

AB

为平面PAD的一个法向量，且

AB

=(0，2，0)
设平面PBC的一个法向量为n₁=（x₁，y₁，z₁），

PB

=(1，2，-

3

)，

BC

=(-2，2，0)，
由

PB

•

n1

=0，得到x1+2y1-

3

z1=0
由

Bc

•

n1

=0，得到-2x₁+2y₁=0，
令x₁=1，则y1=1，z1=

3

，所以n1=(1，1，

3

)，
∴cos＜

AB

，

n1

＞=

AB • n1

| AB || n1 |

=

2×1

2× 1+1+( 3 )2

=

5

5

，
所以平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值为

5

5

．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与平面所成角的求法，考查了二面角的平面角的求法，利用空间向量求线面角时，平面的斜线上任一向量与平面的任意一法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线和平面所成角的正弦值，此题是中档题．