Question

已知数列{}满足=2+2ⁿ-1(n≥2),且a₄=81.

(1)求数列的前三项a₁,a₂,a₃.

(2)是否存在一个实数λ,使得数列{}为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

(3)求数列{}的前n项和S_n.

Answer 1

解:(1)由=2+2ⁿ-1(n≥2)a₄=2a₃+2⁴-1=81a₃=33.?

同理可得a₂=13,a₁=5.                                                                                ?

(2)假设存在实数λ符合题意,则-必为与n无关的常数.?

∵-===1-,要使-是与n无关的常数,则=0,得λ=-1.?

故存在实数λ=-1,使得数列{}为等差数列.                                      ?

(3)由(2)知数列{}的公差d=1.?

∴=+(n-1)·1=n+1,得=(n+1)·2ⁿ+1.?

∵a₁=2·2¹+1,a₂=3·2²+1,a₃=4·2³+1,…,=(n+1)·2ⁿ+1,?

∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+=n+2·2+3·2²+4·2³+…+(n+1)·2ⁿ.?

记T_n=2·2+3·2²+4·2³+…+(n+1)·2ⁿ,?

有2T_n=2·2²+3·2³+4·2⁴+…+n·2ⁿ+(n+1)·2ⁿ⁺¹.?

相减,得T_n=n·2ⁿ⁺¹.?

故S_n=n·2ⁿ⁺¹+n=n(2ⁿ⁺¹+1).