Question

已知函数F(x)=

3x-2

2x-1

，(x≠

1

2

)．
（I）求F(

1

2013

)+F(

2

2013

)+F(

3

2013

)+…+F(

2012

2013

)；
（II）已知数列满足a₁=2，a_n+1=F（a_n），求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ） 求证：a₁a₂a₃…a_n＞

2n+1

．

Answer 1

分析：（I）证明F（x）+F（1-x）=3，利用倒序相加法，可得结论；
（II）证明{

1

an-1

}是以2为公差以

1

a1-1

=1为首项的等差数列，可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）证明

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

，即可得到结论．

解答：（I）解：因为F（x）+F（1-x）=

3x-2

2x-1

+

3(1-x)-2

2(1-x)-1

=3
所以设S=F(

1

2013

)+F(

2

2013

)+F(

3

2013

)+…+F(

2012

2013

)（1）
S=F(

2012

2013

)+F(

2011

2013

)+F(

2010

2013

)+…+F(

1

2013

)（2）
（1）+（2）得：2S=3×2012
所以S=3018----------------（5分）
（II）解：由a_n+1=F（a_n），两边同减去1，得a_n+1-1=

an-1

2an-1

所以

1

an+1-1

-

1

an-1

=2，
所以{

1

an-1

}是以2为公差以

1

a1-1

=1为首项的等差数列，
所以

1

an-1

=1+(n-1)×2=2n-1
所以an=

2n

2n-1

---------------（10分）
（III）证明：因为（2n）²＞（2n）²-1=（2n-1）（2n+1）
所以

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

所以（a₁a₂a₃…a_n）²＞

2

1

•

3

2

•…

2n+1

2n

=2n+1
所以a₁a₂a₃…a_n＞

2n+1

．----------------------------（14分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．