Question

（2012•乐山二模）已知函数f（x）=

x+b，  (x≤1) x2+ax-3 x-1   (x＞1)

在x=1处连续，则

lim

n→∞

3bn+an

bn-an

=

3

．

Answer 1

分析：利用函数f（x）在x=1处连续，得到函数f（x）的右极限和左极限相等，从而确定a，b的数值，然后利用极限公式求极限．

解答：解：因为函数f（x）在x=1处连续，所以

lim

x→1+

f(x)=

lim

x→1-

f(x)．
设x²+ax-3=（x-1）（x+m），即x²+ax-3=（x-1）（x+m）=x²+（m-1）x-m．
所以

-m=-3 a=m-1

，即

m=3 a=2

，所以x²+2x-3=（x-1）（x+3）．
即

lim

x→1+

x2+2x-3

x-1

=

lim

x→1+

(x-1)(x+3)

x-1

=

lim

x→1+

(x+3)=4．

lim

x→1-

(x+b)=1+b=4，解得b=3．
所以

lim?

n→∞

3bn+an

bn-an

=

lim?

n→∞

3?3n+2n

3n-2n

=

lim?

n→∞

3+( 2 3 )n

1-( 2 3 )n

=3．
故答案为：3．

点评：本题的考点是求数列的极限，利用函数在x=1处连续，先确定a，b是解决本题的关键．