Question

已知{a_n}是首项为a₁，公比为q（q≠1）的等比数列，其前n项和为S_n，且有，设b_n=2q+S_n．
（1）求q的值；
（2）数列{b_n}能否为等比数列？若能，请求出a₁的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由q≠1，利用等比数列的前n项和公式，结合求得q 的值．
（2）化简b_n=2q+S_n ，若数列{b_n}能为等比数列，则有=b₁ b₃，由此求得a₁的值，此时可得当n≥2时，=，从而得出结论．
解答：解：（1）∵q≠1，∴===1+q⁵，∴q=．
（2）∵b_n=2q+S_n =1+=（2a₁+1）-．
若数列{b_n}能为等比数列，则有=b₁ b₃，∴=（1+a₁ ）（1+a₁），解得 a₁=-，或 a₁=0 （舍去）．
∵b_n≠0，且当n≥2时，=，故当 a₁=- 时，数列{b_n}为等比数列．
点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，等比关系的确定，属于中档题．