Question

2．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=$\frac{1}{2}$，公比q＞0，S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+2}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵S₁+a₁，S₃+a₃，S₂+a₂成等差数列，
∴2（S₃+a₃）=S₂+a₂+S₁+a₁，
∴$2{a}_{1}（1+q+2{q}^{2}）$=a₁（3+2q），
化为q²=$\frac{1}{4}$，q＞0．
解得q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
（2）b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．